由指数函数幂级数展开式,exp(ix)=(嘻嘻,自己填,自己算,不管是实还是复.如果没有学过复变函数,不必去质疑证明的严密性.)

展开式中,
偶数次幂,1,-1交替出现.
奇数次幂,i,-i交替出现.
按实部,虚部整理好.整个实部是余弦函数幂级数展开式,虚部是正弦函数展开式.
由此,我们证明了:
exp(ix)=cosx+isinx

当x等于pi时就得到著名的等式

事实上,指数函数幂级数展开式是必须记熟的.利用exp(ix)=cosx+isinx,很容易整理出正弦函数,余弦函数展开式.达到巧记三角函数幂级数展开式的目的.

0，加法单位元。

1，乘法单位元。

i，虚数单位。

π，圆周率。听说过这个无理数的很多故事吧

e，自然对数的底。事实上这个e“自然”到无处不在。不过现在中学里不强调对数函数，和它亲密接触要到大学。

这5个常数有什么联系吗？请给出一个简单的公式表示。

假定现有上下签各一支，两人去抽签。可能结果如下：

这两种结果是等可能的。也就是不管先抽后抽，抽中上签的概率都是1/2。

再加一支下签，现在三人争一支上签。可能结果如下：

笑脸出现在第1，2，3位是等可能的。
也就是不管第几个抽，抽中上签的概率都是1/3。

推广到一般情形，有m支上签，n支下签。m+n个人排队抽签。可以由全概公式证明，不管排在第几位，抽中上签的概率都是m/m+n

因此，如果考试中有这么道填空题：盒中有2只白球3只黑球，5人依次抽取1球。求第5人抽到白球的概率。千万别考虑前面的人怎么抽的，大胆写上2/5。OK

传说古代有一大臣得罪了皇帝。皇帝一心想处死大臣，就貌似公平地用抽签的方法，让大臣自己来决定生死。大臣明白两张纸上写的都是“死”。请你帮大臣想个万无一失的方法逃过此劫。

我们把客房按自然数顺序编号。旅客从1号客房开始安排，安排完为止。

如果来了n位新旅客，将原来住k号的住客搬到k＋n号，这样就腾出了前n间客房给新旅客。

如果来了无限个新旅客，那么就将原来住k号的住客搬到2k号，这样就腾出了奇数号客房。是不是永远住不满啊？

有限时的性质不能简单推到无限的情况。比如，1到100这100个自然数中，奇数、偶数各占一半，50个。

但偶数就不是自然数的一半，而是和自然数一样多。

如何理解呢？每一个自然数n对应着一个偶数2n，你有一个，我就有一个。是不是一样多啊。

无限的时候是用一一对应来比较多少的。

请作一个定义域为区间（－1,1)，值域为整个实数域的一一对应函数y＝f（x），从而证明线段和直线上的点一样多。

http://www.hjbbs.com/dispbbs.asp?boardID=47&ID=225736
该期练习中第四题D就用了两次脱衣服律。

学极限的时候无穷大的阶比较搞。当初偶老师用龟兔赛跑来形象地表示变量趋向无穷大时的速度快慢，从而让我们很快记住了无穷大的阶。

当x趋向正无穷大时，x的正幂次函数，以e为底的指数函数都是无穷大量。前者是一群乌龟，后者是一群兔子。跑再快的乌龟跑不过最慢的兔子。也就是前者中任何一个比上后者中任何一个，极限为0。
自然对数函数在此变化过程中也是无穷大量，组成蜗牛类。
从这三类中各找一个代表，搞清楚lnx,x,exp(x)这三个代表趋向无穷大的速度关系，那么这三类之间的比较全清楚了。最慢，兔子最快。
每类中也有快慢，主要看幂次大小。比如乌龟类中，x，根号x，x方的排序一目了然，它们不是同一数量级的，互相比较结果或为0（慢比快）或为无穷大（快比慢）。x与2x速度看上去相差很大，但却是同一级别的，也就是同阶，结果是一非零数。

数学虽然是逻辑的，记忆时引进些形象的东东，帮助很大呢。

当然上述断言成立的话,增加人数肯定也成立.也就是可以把6个人改成n个人(n大等于6).

可以证明6是使此断言成立最小的数.先证明5不成立.附图中黑色红色连线分别表示互相认识和不认识.显然没有同色三角形,即3个人或互相认识,或互相不认识.

6成立可以用着色仿照证明.

有一类现象只对有限个数不成立,比如,上述断言只对1到5五个自然数不成立,而从6开始所有的自然数都成立.这类现象叫Ramsay现象,研究Ramsay现象发展为Ramsay理论.

请大家动动脑筋,给出一个Ramsay现象的例子.

请大家都来说说自己的想法。尽可能少用数学术语。

给出一个特例，容易解决些。分配工作问题。

有n项工作分配给n人。第i人胜任的工作构成集合Ai。求每个人都分配到一项胜任的工作的充分必要条件。

提示：可先找出必要条件。

嘻嘻，相似三角形大家都学过，一组相似三角形就是一个等价类。这里元素是三角形，关系是相似。
看PP时，放大缩小得到的都是相似的图片，哪个顺眼看哪个。
这，就是等价类的好处。

桃源的牛牛们（元素），由兄弟姐妹关系联系在一起，构成一个等价类。
当模特，找人气旺的小七。
编故事，找不生草草气的小歪。
调笑令，嘿嘿，逮到哪个是哪个。

……

线性代数中有个很重要的知识点，是方阵的相似关系。相似的方阵构成一个等价类，可以找出其中一个最简单的，也就是对角阵来研究。
再比如，向量空间比较直观好理解，抽象成线性空间就有不少朋友叫苦连天。其实，它们的代数结构是一致的。
这样可以简化问题。

又晕啦～～～考研时要考线性代数的朋友可以看看。其他朋友跳过。

简单一点，数字的相等、大等于、小等于满足自反性，a＝a、a小＝a，a>＝a都成立。不相等，大于、小于都不满足自反性。

继续昨天的话题，咱们来看看姐妹关系和兄妹关系。
蓝雀和蓝雀是姐妹。
听着怎么那么别扭？别忘了“善意推断”哦。pass。
小歪和小歪是兄妹。
小歪别跳！不就是给出一个明显的反例吗？牺牲一下，JJ煮咖啡给你吃哦。

下面再说说对称性。“~”满足对称性用数学式子表示就是：
如果A~B,那么B~A成立。
很容易验证，三角形相似满足对称性。

再绕到姐妹关系、兄妹关系上。
噜噜和菲菲是姐妹，那么菲菲和噜噜是姐妹。pass。
小歪和土豆是兄妹，那么土豆和小歪是兄妹。也ok。
小歪长出一口气，终于不做反例了。
嘿嘿，人之间的关系是双向的么。想找出不成立的例子，不可能 。
小歪说：偶有偶有。偶把XX当兄弟，XX不把偶当兄弟。
草草说：那还叫兄弟？踢飞！

上述关系只要改成称谓，就是单向的了。
噜噜是菲菲的姐姐，那么菲菲是噜噜的姐姐。显然不对！
顺便说一下，这个是填表经常碰到的问题。表格上有一栏叫“关系”，不是“称谓”。填上老妈之后，千万不能在关系一栏中填“妈妈”，而要填“母女”或“母子”。

好。最后总结一下：
所谓等价关系，就是这个关系“～”要满足三条性质：自反性、对称性、传递性。
姐妹关系满足这三条性质，桃源的姐妹构成一个等价类。嘿嘿，大家全爬到蓝雀巢中聚餐了。
兄妹关系构不成等价类。
小歪嘟嘟哝哝地说：草草，这个兄弟关系……
哇！歪匠铺里满是桃源公牛。小歪高兴地清了清嗓子：桃源的兄弟姐妹们……
呼，飞进一只蓝雀，呼，又飞进只冰鸟……
草草气喘吁吁地赶到：小歪自己验证一下，桃源的兄弟姐妹们构成一个大等价类，撑破你这歪匠铺。

这个等价类有什么用处呢。且听下回分解。

这个推理中，时间就是金钱只是比拟，不是数学上的等价关系，因此不满足传递性就很自然。
等等，什么叫等价关系，什么叫传递性？

等价关系暂缓，今天先说说传递性。
用数学式子表示，传递性就是：
若A~B,B~C,则A~C
我们学过的三角形全等、相似，数字的比大小等都满足传递性。

什么？数学不人性化，头大。那让偶来人性化一下。

假如，这里的～是姐妹关系，我们来看看：
蓝雀和噜噜是姐妹，噜噜和菲菲是姐妹，则蓝雀和菲菲是姐妹。
正确，姐妹关系满足传递性！

如果换成兄妹关系呢？
小歪和土豆是兄妹，土豆和keanu是兄妹，则小歪和keanu是兄妹。
小歪，keanu一起跳起来追草草。草草赶紧爬到蓝雀巢中躲起来。
嘿嘿，兄妹关系不满足传递性，明白了吗？

请指出上述逻辑推理谬误之处。